LOGIKA MATEMATIKA DAN AL-QUR’AN

LOGIKA MATEMATIKA DAN AL-QUR’AN

1.      Inilah ciptaan Allah, maka perlihatkanlah olehmu kepadaku apa yang telah diciptakan oleh sembahan-sembahan(mu) selain Allah. Sebenarnya orang- orang yang zalim itu berada di dalam kesesatan yang nyata. (QS Luqman 31:11)

Menurut penulis, kalimat yang bercetak tebal pada ayat ini bisa diubah menjadi “Jika orang-orang zalim, maka mereka adalah orang orang yang sesat”. Dalam hal ini, orang orang yang zalim dilambangkan dengan huruf p dan orang orang yang sesat dilambangkan dengan huruf q. Berarti, kalimat yang bercetak tebal pada ayat ini bisa juga dilambangkan dengan p è q

2.      Tetapi orang-orang yang zalim, mengikuti hawa nafsunya tanpa ilmu pengetahuan; maka siapakah yang akan menunjuki orang yang telah disesatkan Allah? Dan tiadalah bagi mereka seorang penolongpun. (QS Ar-Ruum 30:29)

Menurut penulis, kalimat yang bercetak tebal pada ayat ini bisa juga diubah menjadi “Jika orang orang sesat, maka bagi mereka tidak ada seorang penolong”. Seperti ayat yang pertama, orang orang yang sesat akan dilambangkan dengan huruf q dan bagi mereka tidak ada seorang penolong akan dilambangkan dengan –r. Berarti, kalimat yang bercetak tebal pada ayat ini bisa dilambangkan dengan q è -r

3.      Dan mereka berteriak di dalam neraka itu : "Ya Tuhan kami, keluarkanlah kami niscaya kami akan mengerjakan amal yang saleh berlainan dengan yang telah kami kerjakan". Dan apakah Kami tidak memanjangkan umurmu dalam masa yang cukup untuk berfikir bagi orang yang mau berfikir, dan (apakah tidak) datang kepada kamu pemberi peringatan? maka rasakanlah (azab Kami) dan tidak ada bagi orang-orang yang zalim seorang penolongpun. (QS Fathir 35:37)

Menurut penulis, kalimat yang bercetak tebal pada ayat ini bisa diubah menjadi “Jika orang orang zalim, maka bagi mereka tidak ada seorang penolong”. Seperti ayat sebelumnya, orang orang yang zalim akan dilambangkan dengan huruf p dan bagi mereka tidk ada seorang penolong akan dilambangkan dengan –r. Dengan begitu, kalimat yang bercetak tebal pada ayat ini bisa dilambangkan dengan p è -r

Dari ketiga ayat di atas, maka tiga ayat tersebut akan membentuk sebuah silogisme dengan bentuk sebagai berikut:

            p à q

            q à -r

            p à -r

Maha Besar Allah dengan segala firman-Nya

LOGIKA MATEMATIKA (Metode Pembuktian Matematika)

Metode Pembuktian Matematika

a.       Pembuktian langsung

b.      Pembuktian tidak langsung

c.       Induksi matematika

a.    Pembuktian Langsung Pembuktian langsung dalam matematika dilakukan dengan menguraikan premis dengan dilandasi oleh definisi, fakta, aksioma yang ada untuk sampai pada suatu kesimpulan (konklusi)

Contoh : Buktikan bahwa : “jika n bilangan ganjil, maka n² bilangan ganjil”.

Bukti : Diketahui bahwa n bilangan ganjil, maka dapat dituliskan n = 2k+1,

     dengan k bilangan bulat

     sehingga  n² = (2k+1) 2 = 4k² + 4k + 1 = 2(2k²+2k) + 1

     Bentuk 2(2k²+2k) + 1 adalah bilangan ganjil

     Jadi n² bilangan ganjil

b.    Pembuktian Tidak Langsung Pembuktian tidak langsung atau pembuktian dengan kemustahilan (reductio ad absurdum) yang dibahas ada 2 cara yaitu :

1)        Kontraposisi

Pembuktian tidak langsung kontraposisi digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi

Untuk membuktikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut

Secara simbolik : p → q ≡ ~q → ~p  

Untuk membuktikan kebenaran p → q, maka kita cukup membuktikan

kebenaran ~q → ~p

Contoh : Buktikan bahwa: “jika n² bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”.

Bukti : Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan

            kebenaran kontraposisinya.

Misalnya : p = n² bilangan ganjil dan q = n bilangan ganjil

Apakah p → q benar ? Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?

Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, k bilangan asli.

Akibatnya n² = (2k)² = 4k² = 2(2k²).

Artinya n²  bilangan genap.

Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR,

sehingga kontraposisi ~q →~p juga BENAR.

Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n² bilanganganjil maka n adalah

bilangan ganjil.

2)      Kontradiksi

Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada

Contoh : Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jika n² ganjil, maka n ganjil”.

Bukti : Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan bulat

ganjil, maka n bilangan bulat genap.

Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat.

Dengan demikian maka n² = (2k)² atau n² = 4k²

Ini menunjukkan bahwa  n² = bilangan bulat genap (~p)

Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui p benar, sedangdari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar.

Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.

c.         Induksi Matematika

Induksi matematika adalah salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu yang berlaku untuk bilangan asli

Prinsip Induksi Matematika :

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n.

Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, berakibat P(n) benar untuk semua n.

Contoh : Buktikan bahwa : “1 + 3 + 5 +  … + (2n-1) = n², untuk semua bilangan

                 asli n”.

Bukti : Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n²

P(1) benar, sebab 1 = 1

Bila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k-1) = k², maka

1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k- 1 + 2k+1.

= k² + 2k + 1

= (k + 1)²

Sehingga P(k+1) benar

Metode Penelitian (METPEN) lengkap

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang

Matematika dikenal sebagai ilmu dasar dari berbagai bidang lainnya. Pembelajaran matematika melatih kita untuk berpikir kritis, logis, analitis, dan sistematis. Peran matematika tidak hanya sebatas hal tersebut. Perkembangan bidang ilmu lain, seperti fisika, biologi, ekonomi maupun berbagai bidang ilmu sosial, tidak terlepas dari peran matematika. Matematika juga sangat pantas disebut sebagai jembatan ilmu pengetahuan dan teknologi. Sebagai contoh, kemajuan teknologi luar angkasa yang sangat pesat  di zaman sekarang karena kemajuan bidang ilmu fisika.

Banyak ilmu yang berkembang atas dasar penerapan konsep dari matematika. Salah satunya perkembangan ilmu komputer yang sedang berkembang pesat dalam era informasi sekarang ini. Jaringan komputer, komputer grafis, aplikasi dari berbagai software diambil dari penerapan konsep dan pemikiran dari para ahli yang telah dirangkum dalam ilmu matematika. Teori grup, struktur aljabar, statistika dan peluang, kalkulus maupun cabang ilmu matematika lainnya sangat applikatif dalam dunia sains dan teknologi.

Statistika merupakan salah satu cabang matematika. Statistika adalah suatu metode yang menjelaskan tata cara pengumpulan, penyusunan, penyajian, penganalisisan, dan penginterpretasian data menjadi informasi yang lebih berguna. Salah satu peran statistika dalam penelitian adalah memberikan informasi tentang karakteristik distribusi suatu populasi tertentu, baik diskrit maupun kontinu. Pengetahuan ini berguna dalam menghayati perilaku populasi yang sedang diamati. Suatu kegiatan utama dalam statistik adalah pengumpulan data. Dalam masalah mengumpulkan data yaitu mencatat atau membukukan data, Al-Qur’an juga membicarakannya dalam Surah Al-Kahfi ayat 49, yaitu:

Artinya:

“Dan diletakkanlah kita (catatan amal), lalu kamu akan melihat orang-orang berdosa merasa ketakutan terhadap apa yang (tertulis) di dalamnya, dan mereka berkata: “Betapa celaka kami, kitab apakah ini, tidak ada yang tertinggal, yang kecil dan tidak (pula) yang besar, melainkan tercatat semuanya,” dan mereka dapati apa yang telah mereka kerjakan (tertulis). Dan Tuhanmu tidak menganiaya seorang jua pun.”

      Berdasarkan Firman Allah tersebut dapat diambil pelajaran bahwa pada hari kiamat nanti orang-orang yang berdosa akan merasa ketakutan pada saat menerima buku catatan amal. Karena didalam buku catatan amal tersebut terdapat semua catatan amal selama hidup di dunia, baik amal buruk maupun amal baik,  bahkan sekecil dan sebesar biji dzarrah pun (QS. Az-Zalzalah 7-8) amal kebaikan dan keburukan selama di dunia, masing-masing dicatat oleh malaikat Roqib (pencatat amal baik) dan ‘Atid (pencatat amal buruk). Hal ini sesuai dengan konsep statistik yaitu pengumpulan data. Ayat ini mengandung penjelasan dalam masalah pengumpulan data yaitu mencatat atau membukukan data, ayat ini juga membicarakan membicarakan tentang ketelitian yang terkandung dalam kalimat “tidak ada yang tertinggal” dan juga ”melainkan tercatat semuanya”. Ayat ini merupakan salah satu bukti konkret tentang statistika dalam Al-Qur’an.

Generalisasi yang berkaitan dengan statistika inferensia mempunyai unsur ketidakpastian, karena hanya didasarkan pada informasi parsial yang diperoleh dari sebagian saja dari keseluruhan data yang menarik perhatian. Pemahaman teori peluang merupakan hal mendasar dan diperlukan untuk mengimbangi ketidakpastian tersebut, agar dapat menyusun menyusun model matematik yang secara teori menjelaskan perilaku populasi yang dibangkitkan oleh percobaannya. Model-model teoritik itu sangat mirip dengan sebaran frekuensi relatif yang disebut dengan sebaran peluang. Sebaran peluag dibagi menjadi dua, yaitu sebaran peluang diskret dan sebaran peluang kontinu (Walpole, 1995).

Bentuk suatu sebaran peluang diskrit sering dituliskan, baik dalam benttuk histogram, tabel, ataupun melalui sebuah rumus. Seringkali pengamatan yang berasal dari berbagai percobaan statistik yang berbeda memiliki jenis perilaku umum yang sama. Akibatnya peubah acak diskrit yang berkaitan dengan percobaan-percobaan tersebut dapat dijelaskan melalui sebaran peluang yang hakekatnya sama, dan oleh karena itu dapat disajkan dalam rumus tunggal. Dalam kenyataannya dalam percobaan hanya memerlukan beberapa sebaran peluang diskrit yang penting untuk dapat menjelaskan hampir sama peubah acak yang ditemui dalam praktek (Walpole, 1995).

Permasalahan dalam percobaan ini adalah bagaimana perbandingan perhitungan secara uniform dengan binomial jika n sama sedangkan batas atas dan batas bawah berbeda serta jika n berbeda tetapi batas atas dab batas bawah sama. Percobaan ini bertujuan untuk mengetahui perbandingan perhitungan secara uniform dengan binomial jika n sama sedangkan batas atas dan batas bawah berbeda serta jika N berbeda tetapi batas atas dan batas bawah sama.

Berdasarkan uraian diatas, maka dalam penelitian ini akan dicari perbandingan kurva hasil bangkitan dat untuk mengetahui perbandingan nilai parameter hasil bangkitan data dengan menggunakan software Minitab.

1.2  Perumusan Masalah

Berdasarkan uraian dari latar belakang diatas, dapat diambil beberapa rumusan masalah yaitu:

1.      Bagaimana perbandingan perhitungan secara uniform dengan binomial jika n sama sedangkan batas atas dan batas bawah berbeda?

2.      Bagaimana perbandingan perhitungan secara uniform dengan binomial jika n berbeda sedangkan batas atas dan batas bawah sama?

1.3  Tujuan

Adapun tujuan yang ingin dicapai berdasarkan permasalahan yang ada diatas adalah sebagai berikut:

1.    Mengetahui perbandingan perhitungan secara uniform dengan binomial jika n sama sedangkan batas atas dan batas bawah berbeda.

2.    Mengetahui perbandingan perhitungan secara uniform dengan binomial jika n berbeda sedangkan batas atas dan batas bawah sama.

1.4  Batasan Masalah

Agar penelitian ini lebih terarah dan jelas, maka perlu adanya pembatasan permasalahan sebagai berikut:

1. Menggunakan kurva perbandingan distribusi uniform dan distribusi binomial.

2. Menggunakan softwafe Minitab.

3. Data disajikan dalam bentuk diagram batang daun (histogram dan steam-and-leaf)

4. Data yang digunakan dalam penelitian ini diperoleh dari Buku Schaum Teori dan soal-soal STATISTIKA yang ditulis oleh Murray R. Speagel, I.N Susila, dan E. Gunawan dan diterbitkan oleh Erlangga pada tahun 1996.

1.5  Manfaat Penelitian

            Adapun manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah:

a.       Bagi Penulis

Mengetahui tentang perbandingan kurva pada distribusi uniform dan distribusi binomial, serta dapat menjadi wacana pengembangan ilmu pengetahuan khususnya dalam pengembangan ilmu matematika yang dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari dan diberbagai disiplin ilmu.

b.      Bagi pembaca dan peneliti lain

1.    Sebagai tambahan wawasan dan memperdalam pengetahuan terutama dalam bidang perbandingan kurva pada distribusi uniform dan distribusi binomial.

2.    Sebagai bahan pertimbangan dalam meneliti perbandingan kurva pada distribusi probabilitas diskrit.

3.    Sebagai bahan referensi atau tolak ukur jika ingin meneliti lebih lanjut tentang permasalahan ini.

1.6  Metode

Menurut Sugiyono, studi kepustakaan berkaitan dengan kajian teoritis dan referensi lain yang berkaitan dengan nilai, budaya dan norma yang berkembang pada situasi sosial yang diteliti, selain itu studi kepustakaan sangat penting dalam melakukan penelitian, hal ini dikarenakan penelitian tidak akan lepas dari literatur-literatur Ilmiah (Sugiyono, 2012).

     Literatur utama yang digunakan dalam tulisan ini adalah jurnal yang berjudul Perbandingan Kurva Pada Distribusi Uniform dan Distribusi Binomial dan diterbitkan oleh Universitas Muhammadiyah Semarang (UNIMUS), Vol. 1, No. 1, Mei 2013).

Langkah-langkah analisis:

a.       Penentuan Variabel

b.      Simbolisasi

c.       Perhitungan

d.      Perbandingan Kurva

e.       Simpulan dan Interpretasi

1.7  Sistematika

a.       BAB I PENDAHULUAN

Bab ini membahas tentang latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian dan sistematika penulisan laporan penelitian.

b.      BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini berisi mengenai teori-teori yang mendukung dan berkaitan dengan pembahasan laporan penelitian sehingga dapat membantu penulis maupun pembaca dalam memahami isi laporan penelitian. Bab ini terdiri dari kajian tentang probabilitas, peubah acak diskrit, distribusi probabilitas binomial, distribusi uniform diskrit, dan histogram dan steam-and-leaf

c.       BAB III PEMBAHASAN

Pada bab ini berisi tentang hasil, pembahasan dan analisis perbandingan kurva pada distribusi uniform dan distribusi binomial.

d.      BAB IV PENUTUP

Bab ini berisi tentang simpulan dan saran yang diperoleh dari pembahasan.